El efecto Hall cuántico continúa revelando sus secretos a matemáticos y físicos

Publicado en 'Ciencias' por º_Bruno_º, 1 Ago 2020.





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    Un experimento transformador está produciendo nuevas ideas 40 años después del descubrimiento del efecto, y estimulando colaboraciones transdisciplinarias

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    Ondas cuánticas en aisladores topológicos: las matemáticas puras son una forma poderosa y rigurosa de describir formas y cómo están organizadas en el espacio. Crédito: A. Yazdani / SPL

    En una conferencia en 1939, Paul Dirac dijo que "las matemáticas y la física puras están cada vez más conectadas". Continuó diciendo que las dos asignaturas podrían unificarse, con "cada rama de las matemáticas puras teniendo su aplicación física".

    El pronóstico de Dirac fue, y sigue siendo, altamente especulativo. Hoy, no se trata de una unificación de estos campos. Las técnicas de las matemáticas puras se utilizan en economía, ingeniería y finanzas, pero no tiene sentido, ni razón para, que estos campos se conviertan en uno.

    El sentimiento de Dirac irrita a los matemáticos puros porque sugiere que los físicos consideran las matemáticas más como una herramienta para estudiar el mundo natural que como una disciplina en sí misma. Tal punto de vista puede ser una barrera para la colaboración fructífera. Pero cuando los matemáticos y los físicos intentan resolver problemas en igualdad de condiciones, los resultados pueden ser sublimes, como hemos visto en la física de los materiales y en la topología, una rama de las matemáticas puras que estudia las formas y cómo están organizadas en el espacio.

    Los matemáticos y físicos que trabajan en estos campos han hecho contribuciones duraderas para comprender el efecto Hall cuántico, que se descubrió durante un experimento transformador hace 40 años. La forma en que lograron esto ofrece lecciones sobre la forma en que las disciplinas, y no solo las de las ciencias físicas, podrían involucrarse más exitosamente entre sí en problemas comunes.

    Saltos cuánticos
    El efecto Hall cuántico describe el proceso a través del cual la resistencia eléctrica se puede medir con precisión en capas de material de unos pocos átomos de espesor.

    El efecto Hall original, descubierto en 1879 por el físico Edwin Hall, describe cómo un campo magnético aplicado perpendicularmente a una tira de metal hace que los electrones se junten a lo largo de ambos extremos de la tira, creando un voltaje. Un siglo después, el físico Klaus von Klitzing fue más allá. Trabajando a bajas temperaturas con capas atómicamente delgadas de materiales cristalinos, conocidos como sistemas de electrones bidimensionales, descubrió que este voltaje está cuantificado. Es decir, el voltaje cambia en saltos, a medida que cambia el campo magnético aplicado. Este fenómeno es el efecto Hall cuántico.

    La capacidad de medir con precisión la resistencia proviene del descubrimiento de von Klitzing de que la resistencia se cuantifica en valores que son proporcionales a una combinación de dos constantes físicas fundamentales: la carga del electrón y la constante de Planck. Además, el valor de la resistencia cuantificada es preciso incluso cuando los materiales contienen impurezas, que de otro modo cambiarían la resistencia. Debido a esto, el efecto Hall cuántico se utiliza para confirmar la precisión del ohm, la unidad de resistencia eléctrica. Von Klitzing recibió el Premio Nobel de Física por este descubrimiento en 1985, cinco años después de la publicación de su artículo.

    Pero, ¿qué pasa con las matemáticas puras y cómo se involucró la topología? Resulta que, en ese momento, la física no pudo explicar completamente por qué la resistencia cambia en pasos discretos cuando cambia el campo magnético. Dos años después del descubrimiento de von Klitzing, el físico David Thouless proporcionó una explicación utilizando la topología. Posteriormente, su trabajo fue construido por otros y, en 2016, recibió una parte del Premio Nobel de Física.

    Pero algunos matemáticos no estaban satisfechos con el estándar de prueba ofrecido por los físicos, y la resistencia cuántica de Hall se agregó a una famosa lista de problemas no resueltos en física matemática.

    No fue sino hasta 2015, 33 años después del cálculo de Thouless, que el matemático Spyridon Michalakis, del Instituto de Tecnología de California en Pasadena, y el físico Matthew Hastings de Microsoft Research en Santa Bárbara, California, publicaron una prueba matemática más rigurosa. La pareja comenzó a trabajar en el problema en 2008, como Michalakis escribió en Nature Reviews Physics a principios de este mes.

    Los físicos teóricos y los matemáticos sabían que la curvatura promedio de un objeto geométrico, como su superficie, tiene una naturaleza topológica. También sabían que pequeñas deformaciones locales afectan la curvatura localmente. Pero una explicación más rigurosa de la resistencia Hall cuantizada necesitaba que la teoría se extendiera a la curvatura global. Esto es lo que lograron Michalakis y Hastings, haciendo que el vínculo entre la topología y el efecto Hall cuántico sea férreo.

    Y la historia no ha terminado, de ninguna manera. La topología ha recibido más atención de los físicos y de los financiadores, como la Fundación Simons en la ciudad de Nueva York, que está apoyando a matemáticos y físicos que trabajan en problemas difíciles, como el efecto Hall cuántico fraccional. En este fenómeno, las interacciones electrónicas complejas hacen que la resistencia de Hall se cuantifique en un valor que es solo una fracción de la carga del electrón.

    En lugar de tratar de unificar las dos disciplinas, como propuso Dirac, quizás el mayor incentivo que los físicos pueden crear para los matemáticos es dejar un problema parcialmente resuelto. En última instancia, la prueba matemática de la resistencia cuántica de Hall podría no haber surgido si la pregunta no se hubiera clasificado como uno de los problemas no resueltos de la física matemática.

    https://www.nature.com/articles/d41586-020-02230-7