La reduccion al absurdo y la raiz cuadrada de dos

Publicado en 'Ciencias' por IvyPoison, 29 Dic 2010.





  1. IvyPoison

    IvyPoison Miembro frecuente

    Registro:
    23 Dic 2010
    Mensajes:
    204
    Likes:
    181




    LA REDUCCION AL ABSURDO Y LA RAIZ CUADRADA DE DOS

    El argumento pitagórico original sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 dependía de una clase de argumento llamado reducción al absurdo: suponemos de entrada la verdad de una afirmación, seguimos sus consecuencias y desembocamos en una contradicción, lo que nos permite determinar su falsedad.

    Tomemos un ejemplo moderno y consideremos el aforismo del gran físico del siglo veinte, Niels Bohr: “Lo contrario de cualquier gran idea es otra gran idea.” Si la afirmación fuera cierta sus consecuencias podrían ser como mínimo algo peligrosas. Consideremos por ejemplo lo contrario de la Regla de Oro evangélica o de las prescripciones contra la mentira, o del precepto “no matarás”. Consideremos pues si el mismo aforismo de Bohr es en si una gran idea, Si así es, la afirmación contraria, “lo contrario de cualquier gran idea no es una gran idea” también debe ser cierta. Hemos llegado entonces a una reducción al absurdo. Si la afirmación contraria es falsa podemos dejar de lado el aforismo porque ha confesado claramente que no es una gran idea.

    Presentamos aquí una versión moderna de la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 utilizando la reducción al absurdo y un álgebra sencilla en lugar de la demostración exclusivamente geométrica descubierta por los pitagóricos. El estilo del argumento, el modo de pensar, son por lo menos tan iinteresantes como la conclusión:
    [​IMG]


    Consideremos un cuadrado cuyos lados tienen una longitud unidad o un centímetro, un metro, un año un lo que sea). La línea diagonal BC divide al cuadrado en dos triángulos, cada uno de los cuales contiene un aángulo recto. En estos triángulos rectángulos es válido el teorema de Pitágoras:
    1² + 1²= X2. Pero 1²+1²=2 , por lo tanto x2 = 2 y escribiremos x=√2 , raíz cuadrada de dos.

    Supongamos que √2 sea un número racional: √2=p/q. donde p y q son números enteros. Pueden ser tan grandes como queramos y representar los números enteros que queramos. Podemos exigir desde luego que no tengan factores comunes. Si quisiéramos afirmar por ejemplo que √2= 14/10, eliminaríamos el factor común 2 y escribiríamos p=7 y q=5,no p=14 y q=10. Hay que eliminar cualquier factor común de numerador y denominador antes de empezar. Tenemos para escoger un número infinito de pes y de qus. Si elevamos al cuadrado los dos términos de la ecuación √2=p/q, obtenemos 2=p2/q2, y luego multiplicando ambos términos dc la ecuación por q2 llegamos a:
    [​IMG]
    Por lo tanto p2 es algún número multiplicado por 2. Es decir que p2 es un número par. Pero el cuadrado de cualquier numero impar es también impar (1²=1 , 3²2=9 , 5²=25, etc.). Por lo tanto tamhién p ha de ser par, y podemos escribir 2s, siendo s algún entero. Si sustituimos este valor de p en la ecuación anterior otenemos:
    [​IMG]

    Dividiendo ambos miembros de esta última igualdad por 2, obtenemos:
    [​IMG]
    Por lo tanto q2 es también un número par y se deduce por el mismo argumento utilizado con p que q también es un número par. Pero si p y q son ambos números pares, ambos divisibles por 2, no se redujeron a su mínimo común denominador, lo cual contradice uno de nuestros supuestos. Reducción al absurdo. El argumento no puede decirnos que esté prohibido reducir los factores comunes, que 14/10 esté permitido y en cambio 7/5 no lo esté. Luego el supuesto inicial ha de ser erróneo; p y q no pueden ser números enteros, y √2 es irracional. De hecho √2=1,4142135...

    ¡Qué conclusión más asombrosa e inesperada! ¡Qué demostración más elegante! Sin embargo los pitagóricos se sintieron obligados a ocultar este gran descubrimiento.

    Fuente.- Apendice 1 del Libro "Cosmos" de Carl Sagan.


     
    A Saurio, Gatofeo, Raphael y 1 otra persona les gustó este mensaje.


  2. TESLA

    TESLA Suspendido

    Registro:
    18 Dic 2010
    Mensajes:
    9,128
    Likes:
    3,155
    humm que buen articulo!.

    bueno, la verdad es ke no se como los pitagoricos demostraron la irracionalidad del la raiz de dos, pero mediante inferencia y reduccion al absurdo se puede demostrar que NO es racional, me perdi un poco con la 2s que reemplaza al p, pero al final se puede ver que no podria ser racional ya que no puede haber dos numeros pares en division que a la vez no se puedan reducir entre si
     
  3. Black Bird

    Black Bird Miembro maestro

    Registro:
    15 May 2010
    Mensajes:
    344
    Likes:
    158
    Muy interesante!! :)
     
    A szf le gustó este mensaje.
  4. Raphael

    Raphael Miembro de plata

    Registro:
    30 Jun 2010
    Mensajes:
    2,504
    Likes:
    1,669
    Asu que alucinante esa demostracion
    Mis respetos para quien la ideo:hi:
     
  5. Gatofeo

    Gatofeo Miembro de plata

    Registro:
    4 Feb 2010
    Mensajes:
    2,843
    Likes:
    519
    Una vez había visto esa demostración, pero la recordaba en detalle.