Espejismos Matemàticos

Publicado en 'Ciencias' por kokogalvez, 14 May 2011.





  1. kokogalvez

    kokogalvez Miembro frecuente

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    Un espejismo matemàtico ocurre cuando dos cosas que no parecen ser iguales, lo son, o cuando mostràndose ser iguales, en realidad no lo son.


    Como ejemplo del 1er caso tenemos el del decimal periòdico

    0,9999999.....


    y la igualdad: 0,9999999..... = 1


    pareciera ser una precipitaciòn. Sin embargo es totalmente cierta!!! y NO lo es por aproximaciòn o redondeo, sino por exactitud. Una demostraciòn directa de lo dicho serìa mediante la aplicaciòn de la fòrmula correspondiente para el càlculo de generatrices de decimales periòdicos puros pero esta prueba resulta muy frìvola y mecanizada (hacerlo). Màs clara y tambièn sencilla es la siguiente prueba Aritmètica:


    1) La divisiòn 1÷ 9 con decimales resulta: 1/9 = 0,1111111....


    2) Entonces pasamos el 9 multiplicando al otro miembro: 1 = 9 × 0,1111111....


    3) De donde, efectuando: 1 = 0,9999999..... que es lo que se querìa demostrar



    Un ejemplo del 2do caso es la demostraciòn 2 = 1 !!! en 10 pasos:

    ) Sea la igualdad: a = b


    ) Multiplicando ambos miembros por a la igualdad no se altera: a² = ab


    ) Restando b² a ambos miembros la igualdad tampoco se altera: a² - b² = ab - b²


    ) Factorizando ambos miembros: (a+b)(a-b) = b(a-b)


    ) Trasladando el factor (a-b) del 1er miembro al 2do miembro para simplificar: (a+b) = b(a-b)/(a-b)


    ) Simplificando: a + b = b


    ) Pero como a = b segùn el paso , sustituyendo a por b: b + b = b


    ) Efectuando la suma: 2b = b


    ) Trasladando el factor b del 1er al 2do miembro: 2 = b/b


    ) Efectuando se tiene finalmente: 2 = 1 !!!


    ¿Serà cierto que 2 es igual a 1?. Por cierto que es un espejismo ¿donde està la falla?


    Tambièn pueden presentarse casos en que el espejismo es provocado por errores de interpretaciòn. Este es el caso del Secreto de la moneda misteriosa:
    Se cuenta el caso de 3 amigos que se fueron a comer a un restaurant. Al finalizar le pidieron la cuenta al mozo y èste les dijo que eran 30 soles. Como eran 3 amigos, cada uno pagò 10 soles. El mozo lleva el dinero a la caja pero ella le indica que hubo un error en la cuenta, que no era 30 soles sino 25 soles, por lo que le da al mozo 5 soles para que lo entregue de vuelto. Pero en el camino el mozo piensa: "Repartir 5 soles entre 3 personas està bien difìcil, mejor me agarro 2 soles y los 3 soles restantes los entrego de vuelto 1 sol a cada persona". Como cada uno de los amigos habìa dado 10 soles, al recibir 1 sol de vuelto entonces cada uno finalmente pagò: 10-1 = 9 soles; por tanto, entre los 3 han pagado 9 × 3 = 27 soles, y màs los 2 soles que se agarrò el mozo resultan 27 + 2 = 29 soles ¡¡FALTA UN SOL!!! ¿donde està?.

    P.D.: Las soluciones se daràn a lo largo de este tema, màs adelante, por cierto que muchos lo resolveràn antes que yo, lo doy por seguro jajaja. Un abrazo.
     
    Última edición: 14 May 2011
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  2. ElCexar

    ElCexar Miembro de oro

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    mm bueno dentro de los s/27 estaria la propina del mozo.

    s/25 de la cuenta +
    s/2 para el mozo +
    s/3 (c/persona recibe s/1) = s/30


     
    Última edición: 14 May 2011
  3. LoTrOx

    LoTrOx Miembro de plata

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    mmm tambien conosco otro para comprobar que 1 = 0.9999

    ya que

    1/3 + 1/3 +1/3 = 1

    0.33.. + 0.33.. + 0.33.. =1

    0.99.. = 1 :D

    anque tus ecuaciones para sersiorarse d esto ultimo no estaria tan bien, por que si b = 0, entonces se cumpliria la ecuacion en todos los puntos planteados, excepto cuando lo pones como denominador y en el ultimo en donde los botas a b/b , y entonces sale uno, lo cual no podria hacer pues seria 0/0.

    pero bueno, tanta perfeccion no puede haber en las matematicas no??

    aunque por ahy creo que un matematico si las considero asi.. descartes creo..
     
    Última edición: 14 May 2011
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  4. clau_N

    clau_N Miembro diamante

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    Si simplificas eso, es simplificar 0/0, es un error, ese procedimiento de comprobación de 1=2 es falso.
     
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  5. incaperu

    incaperu Suspendido

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    Esa es la razòn por la cual les puso dirìa yo variables para que no se dieran cuenta fàcilmente.:hi:
     
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  6. butcheR

    butcheR Miembro de bronce

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    pero la de 2=1 es recontra conocida!!!
     
  7. juanitoloco

    juanitoloco Miembro maestro

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    Para simplificar necesitas restringir, ver si el a-b es 0 o si es negativo. Que alguien me corrija.
     
  8. 666cuervo666

    666cuervo666 Miembro de bronce

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    bueno...ya eh visto estos problemas en el foro....por ahi esta la soluicon como dijeron:

    no hay division por 0

    la propina esta en los 27 soles..

    y la serie...bueno esa no la se

    aparte...si alguien ah visto "Una mente brillante" ...saben cual es el problema que se plantea en la pelicula...recuerdo que dijeron que aun no hay solucion....era un problema con vectores creo....no recuerdo mucho
     
  9. 5to Beatle

    5to Beatle Suspendido

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    Fácil:

    Como bien dices es un problema de espejismo matémático, llámese fallo de interpretación, por tanto el punto de quibre está al principio del problema y no al final donde se saca una cuenta general:

    Mira. los amigos dan 10 soles cada uno, osea en total 30 soles que el mozo se lleva a la caja, la señorita de la caja corrije diciendo que la cuenta en realidad es de 25 soles, asi que asumiendo que los 3 amigos comieron tres platos que valían lo mismo y que no tomaron ninguna bebida adicional, tenemos

    25/3 = 8.33333... (que es lo que realmente pagó cada amigo)

    Bien, ahora el mozo para no complicarse se queda con 2 soles y les dá a rapartirse a los 3 amigos 3 nuevos soles, con lo cual cada uno recibe 1 nuevo sol:

    8.33333... + 1 = 9.33333...

    Ahora, multiplicamos la cuenta individual por 3 ya que son 3 los amigos que comieron:

    9.33333... x 3 = 28 soles

    sumamos los 2 soles que el mozo tomó como su propina:

    28 + 2 = 30 nuevos soles.


    Saludos.
     
    Última edición: 15 May 2011
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  10. diegobarturen

    diegobarturen Suspendido

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    Exelente respuesta! jajaja claro que si Prueben con cualquier numero negativo, al quitarle el b al cuadrado a la encuacion ya la convierte en ecuacion cuadratica y como tal tiene dos soluciones al hacer esa simplificacion estas borrando una de ellas..

    Diego
     
  11. INsu

    INsu Miembro de oro

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    El problema es que al multiplicar 9 x 0.111...ocurre un error infinitesimal...eso no es posible multiplicar...el tratamiento del infinito no es algebraico...

    Error amigo...no cito todo sino el error en el calculo algebraico que aplicas...cuando tienes a=b...a-b=0 y no puedes pasar a dividir el 0 por cuando cualquier numero entre 0 estará no definido y llegaras a un absurdo, en este caso 2=1...

    En este caso no tienes "respaldo aximoatico"...en el caso 0.a=0 no se aplica la ley de cancelación...

    Ley de cancelación: sean a,b,c elementos del cuerpo K....la igualdad a.b=a.c implica que b=c si y solo si existe el inverso multiplicativo de "a"...en contraparte si no existe tal inverso no necesariamente se tendrá que b=c....

    Como en ninguna estructura de cuerpo existe el inverso del 0 , la igualdad 0.a=0.b no implica qnecesariamente que a=b.

    saludos
     
    Última edición: 20 May 2011
  12. Dorian Grey

    Dorian Grey Miembro de oro

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    Más viejos que el chino de la esquina xD
    Pero es entretenido volverlos
    a recordar, ese del mozo si no lo sabia :B~
     
  13. rodolfo777

    rodolfo777 Miembro de plata

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    NOOOOOOOOO!!!!!!!!!!!!!! regresamos con estos post matemáticamente absurdos...
     
  14. kokogalvez

    kokogalvez Miembro frecuente

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  15. dechoclito

    dechoclito Miembro de bronce

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    gracias por el aporte, pero estoy saliendo de aki casi casi en show, mi cerebro ya no resiste tantos numeros...
     
  16. kokogalvez

    kokogalvez Miembro frecuente

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    Tienes razòn amigo, asì es, bien por ello, te felicito. Gracias por tu respuesta, saludos.

    ----- mensaje añadido, 23-may-2011 a las 11:05 -----

    Tienes razòn amigo, asì es, bien por ello, te felicito. Gracias por tu respuesta, saludos.

    ----- mensaje añadido, 23-may-2011 a las 11:08 -----

    Asì es amigo jajaja, las variables disfrazan y producen el espejismo. Màs desnudo serìa irse directo a los nùmeros como la demostraciòn 5 = 3 (ver la soluciòn) donde se notarìa clarìsima la gruesa falla. Gracias por tu respuesta, un abrazo.
     
  17. kokogalvez

    kokogalvez Miembro frecuente

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    ----------------------------------------------------------------------------------
    AGREGADO (por el 2do prob.)

    Prob. 4.-

    EL MISTERIO DEL CABALLO SOBRANTE

    Un hombre al morir, dejó un rancho con 17 caballos. En su testamento dejó escrito que los 17 caballos debían repartirse de la siguiente manera: la mitad para el hermano mayor, la tercera parte para el 2º y la novena parte al menor.

    Para que decir que los herederos se encontraron con tremendo dilema: ¿cómo vamos a repartir los 17 caballos -se preguntaban- por la mitad, la tercera y la novena parte sin tener que ”serruchar” caballos vivos?. Entonces se pusieron a discutir tratando cada uno de redondear números enteros a su favor, y no lograron ponerse de acuerdo; hasta que decidieron llamar a un anciano que tenía fama de sabio en la región, para que resuelva.

    El anciano se apersonó y los herederos le expusieron el problema. Luego de pensar un rato, el anciano exclamó “¡ya lo tengo!. Fue corriendo a su rancho, trajo un caballo de los suyos, lo junto a los 17 restantes, ya son 18 y dijo:
    . Al mayor le corresponde la mitad, antes era de 17 caballos, ahora es la mitad de 18 que es algo mayor, por tanto recibe “yapa” y debe irse contento:
    18 : 2 = …...........…… 9
    . Al segundo, la tercera parte. Antes era de 17, ahora es de 18 y también debe irse satisfecho:
    18 : 3 = …....……....… 6
    . Finalmente al menor, la novena parte y también se va contento:
    18 : 9 = …….......……. 2
    Pero veamos ahora cuántos caballos repartió el anciano:
    …………..........……..……17 !!
    sobró entonces uno que precisamente era el suyo, lo regresó a su rancho y problema resuelto. ¿En qué se fundamentó el anciano para tener la seguridad que, luego de la repartición exacta y con “yapa”, al final de cuentas iba a recuperar su caballo?. Marcar una de las alternativas:

    a) Reparó que 17 era un número primo
    b) Buscó completar 18 por ser múltiplo de 2, 3 y 9
    c) Se percató que la herencia estaba mal repartida
    d) El problema es imposible
    e) Ninguna de las anteriores
    ------------------------------------------------------------------------
     
  18. INsu

    INsu Miembro de oro

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    La herencia estaba mal repartida: 17/2+17/3+17/9 no suman 17...suman 16.056 aprox...

    saludos