El Gran Hotel de Hilbert

Publicado en 'Ciencias' por Leoj Amocich, 27 Ene 2011.





  1. Leoj Amocich

    Leoj Amocich Miembro maestro

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    El Gran Hotel de Hilbert


    Un viajero cansado de caminar llegó por fortuna al Gran Hotel de Hilbert, el legendario hotel de infinitas habitaciones. Entró y preguntó si había una habitación disponible. El encargado le dijo que el hotel estaba llenó. Decepcionado dio media vuelta y cuando pretendía abrir la puerta que da a la calle, escuchó la voz del encargado llamándolo. “No hay problema. Lo solucionaremos en un instante”. Ordenó sencillamente que cada ocupante de una habitación se trasladara a la siguiente, es decir, el de la habitación 1 a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4, y así sucesivamente, con lo cual la habitación 1 quedaría libre. El viajero maravillado de la solución le preguntó al recepcionista qué sucedería si se necesitaran 100 habitaciones. “No hay problema. Al de la habitación 1 lo envío a la habitación 101, el del 2 al 102, el del 3 al 103 y así sucesivamente, con lo cual quedan libres las 100 primeras habitaciones”. El viajero dedujo que por más grande que sea el número de habitaciones que se necesitara, digamos x, lo único que habría que hacer era trasladar al que estaba en la primera habitación a la habitación x+1, al de la 2 a la x+2, al de la 3 a la x+3, etc, etc. Con lo cual quedarían x habitaciones libres. El recepcionista, adivinando los pensamientos del viajero sólo atino a sonreír y decirle: “es la magia del Gran Hotel de Hilbert”.


    Ya en su habitación, el viajero no pudo dejar de pensar en lo sucedido. ¿Cómo podría ser posible que estuviera ocupando una habitación en un hotel donde todas habían estado previamente ocupadas? El pensar que todavía habían personas trasladándose de habitación en habitación lo abrumaba. Y lo peor de todo, pensó, es que cualquiera sea el número de habitaciones que se necesite siempre habrán habitaciones disponibles. No pudo conciliar el sueño y dentro de sus delirios una interrogante surgió de las profundidades de su cerebro. Esta vez creyó que el recepcionista no tendría la solución adecuada.


    A la mañana siguiente, lanzó la pregunta a un desprevenido recepcionista que hojeaba un inmenso libro. “Si hubiera un autobús, con infinitos asientos, completamente lleno de personas y diera la casualidad que llegara aquí, ¿Cómo haría usted para disponer de una habitación a cada persona del autobús?”. El recepcionista cerró el libro y respondió: “Al número de cada habitación lo multiplico por 2 y traslado a cada ocupante al número nuevo. El de la habitación 1 a la habitación 2, al del 2 al 4, al del 3 al 6, al del 4 al 8 y así sucesivamente; con lo cual tendría que las habitaciones pares, 2,4,6,8, etc, estarían ocupadas y las impares, 1, 3, 5, 7, etc, que son infinitas, quedarían desocupadas.” Miró fijamente al viajero y con una mueca sarcástica preguntó: ¿En dónde crees, mi querido amigo, que colocaría a las personas del autobús?


    Algo de misterioso había en todo esto, pensó el viajero mientras regresaba a su habitación. ¿Es que acaso el Gran Hotel de Hilbert siempre dispone de habitaciones, así sean cantidades infinitas? ¿Cómo podía ser que una cantidad infinita esté contenida en otra cantidad infinita? ¿Es que acaso los infinitos no son iguales?


    Ya en los límites de la cordura, luego de varias horas de profunda reflexión, el viajero elaboró una última interrogante, la cual creyó no sería resuelta de ningún modo. “Si hubieran infinitos autobuses que llegaran al hotel, y cada autobús tuviera infinitos asientos los cuales estarían ocupados. ¿Cómo haría el recepcionista para asignarle una habitación a cada persona?” Seguro de su victoria avanzó decidido hacia donde estaba el recepcionista, sin dejar de sonreír. No obstante le aguardaba una sorpresa: el Gran Hotel de Hilbert no guardaba secretos para el recepcionista, pues él era Hilbert.

    ¿Cuál crees que fue la respuesta?
     


  2. eklektiko

    eklektiko Miembro de plata

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    La verdad no llego a formular una respuesta modelizable, pero tengo la impresion que la pregunta toca los limites de la aporia.
     
  3. TESLA

    TESLA Suspendido

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    humm creo que es un poco rebuscado, el infinito es infinito, puedes meter lo que quieras seguira siendo infinito
     
  4. Leoj Amocich

    Leoj Amocich Miembro maestro

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    ¡¡¡ Al fin llegaron los comentarios!!! Ciertamente ya me estaba animando a abrir temas del tipo 1 + 1 = 3 ó 2 + 2 = 5, que ciertamente tuvieron mucha acogida y que, debo confesar con congoja, también hice algún comentario.

    El tema del infinito siempre ha sido terreno fértil para las aporías ( o aquellos razonamientos inválidos que conducen a las paradojas), sin embargo acá el problema está en descomponer a los números naturales en diferentes conjuntos infinitos. Ya sabemos que los naturales son infinitos, pero hemos visto que hay dos subconjuntos de los números naturales que también son infinitos: los números pares y los números impares. ¿Entonces cómo puede suceder que un subconjunto tenga la misma cantidad de elementos que tiene el conjunto matriz? Esto sólo sucede al trabajar con conjuntos infinitos; pero no resulta tan evidente. Todo esto es parte de una rama de la matemática que trabaja con infinitos y que fue desarrollada por el gran matemático alemán George Cantor, el creador de la teoría de Conjuntos. El infinito es un tema vasto y no excento de complicaciones con el sentido común (con decirles que Cantor murió loco)
    Entonces el problema radica allí, para responder a la pregunta hay que descomponer a los naturales en infinitos subconjuntos que tengan infinitos elementos. Esa es la tarea a realizar.

    El Hotel de Hilbert es un modelo de una construcción abstracta que versa sobre el infinito creada por David Hilbert, una de los más grandes matemáticos del siglo pasado que también se ocupó del infinito (a manera de información, algunos historiadores afirman que él encontró antes que Einstein las ecuaciones correctas para la teoría general de la relatividad). Yo tan sólo hice una adaptación del mismo.



    Las cosas no son tan sencillas TESLA. El infinito no siempre es el mismo infinito. Yo no puedo meter lo que quiera a un conjunto infinito, pues podría suceder que halla un infinito más grande.
    Por ejemplo, los números reales y los números naturales son infinitos. Dime tú ¿el infinito de los reales es igual al infinito de los naturales?
    Te lo dejo como tarea.

    Saludos :)
     
  5. TESLA

    TESLA Suspendido

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    no siempre, pero en este caso, hay infinitas habitaciones y hay infinitos huespedes.
    si los infinitos huespedes se incluyen dentro de las infinitas habitaciones no le veo el problema. puedes seguir aumentando el numero de huespedes y siempre habra habitaciones para todos.
     
  6. Exeptico

    Exeptico Miembro de oro

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    Esos son conceptos matemáticos con los cuales muchas veces tratamos de describir la naturaleza.

    Cuando una ley física depende de un infinito es su ruina, como por ejemplo
    Un cuerpo gravitatorio comienza comprimir una cantidad X de materia. Esta materia comprimida hace q el campo sea más potente y comprimirá mas la masa entrando a un crecimiento exponencial hacia el infinito (y mas allá...)

    Ese infinito es la ruina de todos los modelos q describen las singularidades ( sin rigor: agujeros negros)

    A mí me parece q en realidad los infinitos (en fisica) son solo cantidad grades dentro del cual solo se dan cambios cuantitativos medibles como la dilatación del tiempo con la velocidad de la luz.
    Estas cantidad tienenen limites definidos, al cual nunca llegamos debido a q se produce algún tipo de cambio cualitativo tal vez imperceptible en nuestro cosmos.

    Nota: estas cantidades son tan grandes q para todos los efectos perceptibles son infinitos. Nunca llegaremos físicamente a medir el efecto de “ya no hay habitaciones, en el hotel gravitatorio”
     
    Última edición: 31 Ene 2011
  7. B.Navarrete

    B.Navarrete Miembro maestro

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    ta que molestia para los huespedes tener que trasladarse siempre jaajjaja
     
  8. Leoj Amocich

    Leoj Amocich Miembro maestro

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    En el caso de las matemáticas también fue algo que hizo tambalear sus cimientos, por ejemplos las paradojas de Zenon de Elea que tenían que ver con el infinito; no obstante, de cierta manera , se ha llegado a controlar a este monstruo que es el infinito.

    P.D. Más adelante daré la solución del problema, por ahora estoy un tanto ocupado.:)
     
  9. Exeptico

    Exeptico Miembro de oro

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    Tiene una solucion con aplicaciones practicas?
    En la epoca de zenon, nadie se atravio a ponerse ante la flecha, el modelo tenia coherencia pero no atingencia con la naturaleza.
     
    Última edición: 7 Feb 2011
  10. Fury

    Fury Miembro maestro

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    Interesante. Habia un matematico que propuso que podria haber un infinito mucho mas "infinito". Bueno en su epoca lo catalogaron de loco pero al final tenia razon. Ahora no me acuerdo su nombre.
     
  11. Feruni2

    Feruni2 Miembro de bronce

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    Creo que seria de esta manera

    (x*(x+3))/2

    ya que
    Reemplazando
    1--2 (libre habitacion 1)
    2--5 (libre habitacion 3-4)
    3--9 (libre habitacion 6-7-8)
    4--14 (libre habitacion 10-11-12-13)
    5--20 (libre habitacion 15-16-17-18-19)
    .
    .
    .
    a los del 1er bus (habitaciones 1-3-6-10-15 .....
    los del 2do bus (habitaciones 4-7-11-16 .......
    a los del 3er bus (habitaciones 8-12-17.........
    .
    .
    .
     
    Última edición: 8 Feb 2011
  12. Leoj Amocich

    Leoj Amocich Miembro maestro

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    Ese matemático fue George Cantor, quien tuvo grandes problemas al dar a luz su teoría de los infinitos; su principal rival fue Kronecker otro matemático alemán.
    Tanto fue su pasion por el infinito que finalmente murió loco, tal y como lo tildaron sus detractores; sin embargo sus teorías no tienen nada de locura, es una de las más bellas páginas de las matemáticas.
    Saludos
     
  13. Feruni2

    Feruni2 Miembro de bronce

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    XD.. pero dime mi respuesta ta bien o errada¿?¿
     
  14. ProzaKc

    ProzaKc Miembro maestro

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    Si llegan infinitos buses, entonces la gente de las habitaciones se quedaran desplazandose para siempre (para poder suplir a los nuevos clientes). Ademas, si hay infinitos pasajeros en cada bus quiere decir que nunca llegarán a terminar de bajar totalmente.
    No me parece la mejor forma de explicar que hay conjuntos infinitos dentro de otros conjuntos infinitos, pero tampoco se me ocurre una.
     
  15. Leoj Amocich

    Leoj Amocich Miembro maestro

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    Tu respuesta es correcta amigo, a cada bus le asignas una sucesión de números; y a los que estaban inicialmente el el hotel le asignas tu sucesión principal. Lo que estoy haciendo ahora es encontrar la sucesión explícita que le corresponde a cada bus. En el próximo mensaje lo haré.
    Buena respuesta:yeah:
     
    Última edición: 15 Feb 2011
  16. Feruni2

    Feruni2 Miembro de bronce

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    En lado lei, k en la respuesta tenia k ver algo los numeros primos elevado a la n
     
  17. Exeptico

    Exeptico Miembro de oro

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    El gran hotel es un continuo, el cual se puede siempre redefinir idealmente en suma de unidades y en multiplos de estas unidades e incluso en multiplos de si mismo, de donde siempre tendra una cantidad de infinitas habitaciones potenciales disponibles.


    Si aplicas esta idea al modelo del cuerpo negro, se llegara a un modelo de emision de fotones q no constrasta con la realidad.

    el gran hotel es solo un ideal!


    salu2
     
    Última edición: 28 Mar 2011
  18. JACE

    JACE Miembro frecuente

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    Esteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee y yo que pense que era un caso de la vida real, pucha ya estaba haciendo mis planes para conocer ese Gran Hotel

    XXXDDDDD